Rumus Sn digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama pada suatu barisan bilangan aritmatika/geometri. Misalnya, perlu dihitung 50 suku pertama suatu barisan. Cara menghitung jumlah kelima puluh suku pertama tersebut dapat menggunakan rumus S₅₀.

Rumus Sn deret aritmatika ada dua yaitu Sn = ½n(a + Un) dan Sn = ½n(2a + (n-1)b). Di mana a = suku pertama, Un = suku ke-n, dan b = beda atau selisih dua suku yang berdekatan. Untuk rumus Sn deret geometri juga ada dua yaitu Sn = a(r^n − 1)/(r − 1) dan Sn = a(1 − r^n)/(1 − r) dengan a = suku pertama deret dan r = rasio dari suatu deret geometri.

Penggunaan rumus Sn bergantung dari deret yang akan dicari tahu jumlahnya. Apakah merupakan deret aritmatika atau geometeri. Sehingga, sebelum menggunakan rumus Sn yang mana perlu mengenali dulu bentuk deretnya. Apakah deret tersebut merupakan deret aritmatika atau deret geometri.

Bagaimana cara menggunakan rumus Sn? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Deret Artimatika dan Geometri

Deret aritmatikan dan geometri dapat dikenali dari pola yang dibentuk suku-suku bilangannya. Untuk deret artimatika memiliki pola dengan beda yang sama untuk setiap kenaikan sukunya. Untuk deret geometri memiliki pola dengan rasio yang sama untuk setiap kenaikan sukunya.

Contoh deret aritmatika adalah ²/₃ + 1 + ⁴/₃ + ⁵/₃ + 6 + … + U_n = Sn. Deret tersebut adalah deret aritmatika dengan nilai kenaikan setiap sukunya memilki pola penambahan (+) ¹/₃ (nilai beda b = ¹/₃.

Contoh deret geometri adalah 3 − 6 + 12 − 24 + 48 + … + U_n = Sn. Deret tersebut adalah deret geometri dengan nilai kenaikan setiap suku memiliki pola perkalian (×) dengan −2 (r = −2).

Untuk mencari n jumlah suku kedua deret tersebut adapat menggunakan rumus Sn. Rumus jumlan n suku untuk deret aritmatika berbeda dengan rumus jumlah n suku deret geometri. Perbedaan dari kedua suku tersebut terdapat pada masing-masing ulasan di bawah.

Baca Juga: Rumus + Materi Induksi Matematika

Rumus Sn Deret Arimatika

Rumus Sn deret aritmatika menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika. Ada dua rumus jumlah n suku deret aritmatika yang dapat digunakan. Satu rumus digunakan saat diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhir (U_n). Satu rumus lainnya digunakan saat diketahui nilai suku pertama (a) dan nilai beda (b) dari suatu deret aritmatika.

Dua rumus jumlah n suku deret aritmatika yang dapat digunakan terdapat pada dua persamaan berikut.

Selain dua rumus jumlah n suku di atas terdapat juga rumus Sn deret aritmatika hasil penurunan rumus-rumus yang sudah ada.

Beberapa rumus jumlah n suku deret aritmatika yang dapat digunakan meliputi,

• S_n = ¹/₂(a + U_n)
• S_n = ¹/₂[2a + (n−1)b]
• S_n = n × U_t
• S_n − S_n−1 = U_n

Keterangan:
S_n = jumlah n suku pertama deret
U_n = suku ke-n
U_t = suku tengah
a = suku pertama
b = beda/selisih dua suku berdekatan
n = 1, 2, 3, …, n (bilangan asli)

Rumus Sn Deret Geometri

Rumus Sn deret geometri menyatakan jumlah n suku pertama deret geometri. Ada dua rumus jumlah n suku pertama dari deret geometru yang dapat digunakan. Penggunaan rumus tersebut dibedakan berdasarkan nilai rasionya, apakah rasio lebih kecil dari satu (r < 1) atau lebih dari satu (r > 1).

Dua rumus jumlah n suku pertama deret geometri untuk r < 1 dan r > 1 dinyatakan dalam dua persamaan berikut.

Keterangan:
Sn = jumlah n suku deret
r = rasio dua suku berdekatan
a = suku pertama
n = 1, 2, 3, …, n (bilangan asli)

Baca Juga: Rumus Deret Geometri Tak Hingga (S_∞)

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya.

Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!

Contoh 1 – Penggunaan Rumus Sn Deret Aritmatika

Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 840
B. 660
C. 640
D. 630
E. 315

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh beberapa informasi seperti berikut.

• Barisan aritmetika
• Suku ketiga: U₃ = 36
  a + 2b = 36
  2b = 36 ‒ a
  b = 18 ‒ ¹/₂a

• Jumlah suku kelima dan ketujuh:
  U5 + U₇ = 144
  (a+4b) + (a+6b) = 144
  2a + 10b = 144
  a + 5b = 72

Menentukan nilai a:
substitusi b = 18 ‒ ¹/₂a ke a + 5b = 72 seperti yang dilakukan pada cara berikut.

a + 5b = 72
a + 5(18 ‒ ¹/₂a) = 72
a + 90 ‒ ⁵/₂a = 72
‒³/₂a = ‒18
a = ‒18 × ‒²/₃ = 12

Menentukan nilai b:
b = 18 ‒ ¹/₂a
b = 18 ‒ ¹/₂×12 = 18 ‒ 6 = 12

Jumlah sepuluh suku pertama (S10):
S10 = ¹⁰/₂(2×12 + 9×12)
S10 = 5(24 + 108) = 5 × 132 = 660

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah S10 = 660.

Jawaban: B

Contoh 2 – Penggunaan Rumus Sn Deret Geometri

Jumlah semua suku pada deret geometri

adalah ….

Pembahasan:
Pada soal diketahui deret ⁴/₉ + ⁴/₃ + 4 + … + 108. Deret tersebut merupakan deret geometri dengan rasio untuk setiap kenaikan sukunya r = 3.

Menentukan banyak bilangan pada deret tersebut (n):
U_n = arⁿ⁻¹ = 108
⁴/₉ × 3ⁿ⁻¹ = 108
3ⁿ⁻¹ = 108 × ⁹/₄ = 243
3ⁿ⁻¹ = 3⁵
n − 1 = 5
n = 5 + 1 = 6

Menentukan jumlah deret geometri untuk n = 6:

Jadi, jumlah semua suku pada deret geometri ⁴/₉ + ⁴/₃ + 4 + … + 108 adalah Sn = 161⁷/₉.

Jawaban: B

Contoh 3 – Soal Rumus Jumlah Deret Geometri

Dalam deret geometri, diketahui suku kedua adalah 10 dan suku kelima adalah 1.250. Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ….
A. 2(5n − 1)
B. 2(4n)
C. ¹/₂(5ⁿ − 1)
D. ¹/₂(4ⁿ)
E. ¹/₄(5ⁿ − 1)

Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diketahui:

• Suku kedua adalah 10: U₂ = 10
• Suku kelima adalah 1.250: U₅ = 1.250

Dalam rumus jumlah deret geometri terdapat suku pertama (a) dan rasio. Sehingga perlu untuk menentukan dua nilai tersebut terlebih dahulu.

Menentukan rasio (r):

r³ = 125

r = ³√125 = 5

Nilai suku pertama (a):
U₂ = ar = 10
a×5 = 10
a = ¹⁰/₅ = 2

Dari hasil perhitungan diperoleh nilai a = 2 dan r = 5, sehingga rumus Sn deret geometri dapat dibentuk dengan cara berikut.

Jadi, Jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ¹/₂(5ⁿ − 1).

Jawaban: C

Demikianlah tadi ulasan rumus sn deret aritmatika dan geometri. Terima kasih sudah mengunjungi idschool.net, semoga bermanfaat!