Barisan tak terhingga geometri adalah himpunan barisan geometri yang terdiri dari bilangan-bilangan tak terhingga banyaknya. Untuk barisan tak hingga bilangan 1, 2, 4, 8, … berbentuk barisan geometri tak hingga 1 + 2 + 4 + 8 + … (rasio r = 2). Jumlah deret geometri tak terhingga untuk seri divergen seperti pada deret 1 + 2 + 4 + 8 + … tak terhingga. Sedangkan untuk deret geometri tak berhingga banyaknya untuk deret konvergen dihitung dengan rumus S_∞ = ^A/_1‒rs (a = suku pertama dan ir = rasio).

Ciri suatu barisan geometri adalah memiliki nilai rasio yang sama untuk setiap sukunya. Rasio adalah perbandingan antara dua suku yang berurutan.

Bentuk umum dari rasio umumnya dinyatakan dengan persamaan r = ^Un/_Un‒1. Dimana U_N adalah anggota ke-n dari deret geometri dan U_N‒1 adalah suku ke (n‒1) atau satu suku sebelum suku ke-n.

Apa langkah-langkah untuk menghitung jumlah deret geometri tak terhingga? Bagaimana cara menghitung jumlah deret geometri tak terhingga? Sahabat idschool bisa mengetahui jawabannya melalui ulasan di bawah ini.

Deret geometri divergen tak terhingga

Barisan divergen adalah barisan bilangan yang sukunya selalu bertambah atau berkurang. Ciri deret divergen adalah memiliki rasio lebih besar dari 1 (r > 1) atau rasio lebih kecil dari -1 (r < -1).

Contoh barisan geometri tak terhingga yang tumbuh divergen adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (rel r = 2). Contoh barisan geometri tak terhingga yang menyimpang ke bawah adalah ‒¹/₃‒1, ‒3, ‒27, … (rel r = ‒3).

Setiap barisan geometri tak terhingga yang merupakan barisan divergen memiliki jumlah yang sangat kecil. Jadi jumlah dari deret geometri tak terhingga yang menyimpang ke atas/bawah dinyatakan dalam nilai tak terhingga.

Untuk barisan divergen yang meningkat, terdapat deret geometri S dalam jumlah tak terhingga_∞ = ∞. Sementara itu, deret divergen turun memiliki jumlah deret geometri S yang tak terhingga_∞ = ‒∞.

Baca juga: Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika dan geometri

Jumlah deret geometri tak terhingga yang konvergen

Barisan konvergen adalah barisan bilangan yang anggotanya mendekati nilai bilangan real. Ciri deret konvergen adalah memiliki rasio antara ‒1 dan 1 (‒1 < r < 1) sehingga r = ¹/₂r = ‒¹/₃r = ⁴/₅dan seterusnya.

Contoh barisan geometri tak hingga yang konvergen adalah 8 + 4 + 2 + 1 + ¹/₂ + ¹/₄… (rasio r = ¹/₂). Contoh lain barisan geometri tak hingga yang konvergen adalah ‒12 + 4 ‒⁴/₃ + ⁴/₉ + … (rasio r = ‒¹/₃).

Setiap barisan geometri tak terhingga yang merupakan barisan konvergen memiliki jumlah yang dapat dinyatakan dalam bentuk nilai. Nilai ini dapat dihitung dengan rumus jumlah deret geometri tak terhingga (S_∞).

Baca juga : Cara menentukan satuan dari beberapa bilangan

Contoh soal dan diskusi

Beberapa contoh soal di bawah ini bisa digunakan teman-teman sekolah untuk lebih memahami pembahasan di atas. Setiap contoh soal disertai dengan pembahasan. Sobat Idschool bisa menggunakan diskusi ini sebagai tolak ukur keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Jumlah tak terhingga dari masalah deret geometri

Bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian ²/₃ dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah…
A.36 meter
B.38 meter
C.45 meter
D.47 meter
E.51 meter

Diskusi:
Dari tugas tersebut terlihat bahwa pantulan lintasan yang dilalui bola akan membentuk barisan geometri. Setiap kali bola memantul maka akan berkurang ²/₃ dari ketinggian sebelumnya (rasio r = ²/₃).

Ada dua jalur yang dilalui bola, yaitu saat bola naik dan saat bola turun. Gambaran lintasan yang ditempuh bola terdapat pada ilustrasi berikut.

Perhatikan jalur yang ditempuh bola setelah dipantulkan akan membentuk dua deret 6+4+ ⁸/₃ +…. Jadi panjang lintasan yang ditempuh bola dapat dihitung dengan bilangan H0 dengan dua kali banyaknya deret geometri tak terhingga ke bawah.

Jadi, panjang lintasan bola sampai berhenti adalah 45 meter.

Jawaban: C

Baca juga: Langkah-langkah pembuktian rumus dengan induksi matematika

Contoh 2 – Jumlah tak terhingga dari masalah deret geometri

Diskusi:
Deret geometri 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … merupakan deret konvergen karena memiliki nilai perbandingan r = ^‒48/₉₆ = ‒¹/₂. Dari deret yang diberikan diketahui suku pertamanya sama di dalam₁ = a = 96. Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dihitung dengan rumus S_∞ = ^A/_1‒r dengan cara berikut.

S_∞ = ^A/_1‒R
S_∞ = ⁹⁶/_1‒(‒½)
S_∞ = 96 : ³/₂
S_∞ = 96× ²/₃ = 64

Jadi, jumlah tak hingga barisan geometri 96 ‒ 48 + 24 ‒ 12 + … adalah 64.

Jawaban: C

Ini adalah dua bentuk rumus jumlah deret geometri tak terhingga yang dibedakan berdasarkan bentuk deret divergen atau konvergen. Terima kasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!