Ada dua bentuk rumus volume benda yang berputar yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda yang berputar. Mereka berasal dari dua rumus volume benda berputar yang dapat digunakan metode disk SAYA metode kulit tabung. Dua cara menghitung volume benda yang berputar akan menghasilkan nilai yang sama. Hanya saja pada jenis soal tertentu akan lebih mudah mengerjakan salah satu dari kedua metode tersebut.

Bagaimana rumus volume benda yang berputar dengan metode cakram? Bagaimana rumus volume benda yang berputar dengan metode cincin silinder? Sahabat idschool bisa mengetahui jawabannya melalui ulasan di bawah ini.

Baca juga : Cara menghitung luas permukaan yang melengkung

Volume Rotasi

Bentuk volume benda yang berputar merupakan bentuk ruang yang memiliki volume besar. Volume benda yang berputar adalah luas yang dibatasi oleh suatu kurva kemudian diputar 360 derajat^Fr pada sumbu. Sumbu rotasi yang digunakan dapat berupa sumbu x, sumbu y atau garis lainnya.

Misalnya, garis lurus yang memotong sumbu x di titik a memotong sumbu y di titik b. Garis lurus dengan sumbu x dan sumbu y di kuadran I membentuk bidang segitiga. Daerah tersebut diputar terhadap sumbu x sebesar 360^Fr.

Gambar area yang diputar dan objek berputar yang dihasilkan memiliki bentuk sebagai berikut.

Bentuk permukaan yang dibatasi garis lurus pada batas 0 sampai a berbentuk kerucut berjari-jari panjang B dan tinggi kerucut A. Untuk menghitung volume benda yang berputar, Anda dapat menggunakan rumus kerucut.

Jadi volume benda yang berputar sama dengan volume tabung = ⅓πr²t = ⅓πb²a = ⅓πab² satuan volume.

Volume benda berputar yang dibatasi oleh kurva memiliki bentuk yang berbeda-beda.

Misalnya, volume benda yang berputar dibatasi oleh kurva y = x³ pada kuadran I, garis y = 2, dan garis y = 5 yang diputar pada sumbu y. Benda berputar yang dihasilkan berbentuk seperti pot seperti gambar di bawah ini.

Baca juga: Cara Membuat Grafik Fungsi Kuadrat y = ax^2 + bx + c

Bentuk objek berputar yang dihasilkan bergantung pada kurva yang membatasi area yang diputar.

Rumus fungsi integral dapat digunakan untuk menghitung berbagai bentuk volume benda yang berputar. Ada dua cara untuk menghitung volume benda yang berputar, yaitu metode cakram dan metode shell.

Dua cara menghitung volume benda yang berputar dijelaskan pada ulasan di bawah ini.

Rumus volume metode cakram berputar

Metode disk digunakan untuk menghitung volume benda yang berputar dengan membagi batang potong yang dipilih tegak lurus terhadap sumbu rotasi.

Metode disk untuk menghitung volume menggunakan rumus dasar Volume = Luas Alas × Tinggi. Pada benda permukaan berputar yang telah diputar hingga 360^Fr di sekitar sumbu memiliki bentuk dasar lingkaran.

Diketahui rumus luas lingkaran adalah Luas = πr² di mana r adalah jari-jari lingkaran.

Jari-jari rotasi sama dengan jarak dari sumbu rotasi ke kurva yang nilainya f(x). Oleh karena itu, rumus luas di setiap titik adalah Luas = πr² = πf²(X). Berapa kali luas dikalikan dengan partisi benda yang berotasi akan menghasilkan rumus volume benda yang berotasi.

Diketahui bahwa kurva tersebut membatasi daerah pada interval antara a dan b. Mengambil ketinggian dx sepanjang interval dan luas L = πf²(x) maka rumus volume benda yang berotasi adalah V = _A ʃ ^B [πf²(x)] dx = π _A ʃ ^B F²(x)dx.

Baca juga : Aturan Sinus dan Cosinus + Contoh Penggunaannya

Rumus volume benda yang berputar menggunakan metode shell

Cara menghitung volume benda yang berputar menggunakan metode kulit dilakukan jika batangnya dipotong sejajar dengan sumbu rotasi.

Inti dari metode shell pipa menggunakan daerah yang berputar mengelilingi sumbu untuk menghasilkan objek yang berputar. Jadi hasil kali luas yang diputar dengan volume rotasi sama dengan volume benda yang berputar.

Hasil putaran 360^Fr membentuk lingkaran yang kelilingnya sama dengan 2πr. Untuk luas permukaan yang diputar sama dengan A, volume objek yang berputar pada setiap potongan partisi adalah Volume = 2πr × A.

Jari-jari yang digunakan dalam rumus volume benda yang berputar pada metode cangkang sama dengan jarak dari sumbu rotasi ke bagian partisi, dan A adalah luas permukaan yang berputar.

Area yang diputar antara interval a dan b dihitung dengan rumus A = _Aʃ^B f(x)dx. Untuk jari-jari dari sumbu rotasi ke permukaan partikel sama dengan x, rumus volume benda yang berputar dengan metode kulit adalah V = _A ʃ ^B 2πxf(x)dx = 2π _A ʃ ^B xf(x)dx.

Juga bagus: Rumus integral untuk fungsi trigonometri

Contoh soal dan diskusi

Beberapa contoh soal di bawah ini bisa digunakan teman-teman sekolah untuk lebih memahami pembahasan di atas. Setiap contoh soal disertai dengan pembahasan. Sobat Idschool bisa menggunakan diskusi ini sebagai tolak ukur keberhasilan dalam mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Menggunakan rumus volume putar metode cakram

Volume benda berotasi yang terjadi jika luas antar kurva adalah y = –x² + 4, sumbu X, dan garis x = 0 di kuadran I diputar terhadap sumbu X sebesar 360^Fr adalah …
A ¹⁵⁰/₁₅π adalah satuan volume
B. ¹⁵⁶/₁₅π adalah satuan volume
C. ¹⁶⁰/₁₅π adalah satuan volume
D. ²⁵⁶/₁₅π adalah satuan volume
e. ⁵⁷⁶/₁₅π adalah satuan volume

Diskusi:
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengetahui benda berputar yang akan dihitung volumenya. Anda dapat melakukannya dengan menggambar grafik fungsi kuadrat y = ‒x² + 4. Kemudian tentukan luas antara kurva, sumbu x dan garis x = 0 pada kuadran I.

Solusi yang akan digunakan dalam perhitungan di bawah ini adalah metode disk. Sehingga sekat benda yang berputar dibuat tegak lurus terhadap sumbu putar.

Gambarkan luas yang diputar dan volume yang dihasilkan dari objek yang berputar sesuai dengan langkah penyelesaian berikut.

Oleh karena itu, volume yang dihasilkan dari benda yang berputar adalah sama dengan ²⁵⁶/₁₅π adalah satuan volume.

Jawaban: D

Contoh 2 – Menggunakan Rumus Volume Spine untuk Metode Pipa Shell

Volume benda yang berputar yang terjadi jika permukaan dibatasi oleh y = x²garis y = 2, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y sebesar 360^Fr adalah….
A. π adalah satuan volume
B. Satuan volume 1,5π
C.2π satuan volume
D. Volume satuan adalah 2,5π
E. 3π satuan volume

Diskusi:
Cara menghitung volume benda yang berputar dilakukan dengan metode tabung kulit. Dimana pada metode tube shell menggunakan partisi benda putar sejajar sumbu putar.

Sebelumnya perlu ditentukan terlebih dahulu persamaan jari-jari rotasi dan luas permukaan yang dirotasi.Bentuk permukaan dan benda putar yang dihasilkan ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Menghitung volume benda yang berputar:
V = 2π ₀ʃ^√2 x(2 ‒ x²) dx
V = 2π ₀ ʃ^√2 2x ‒ x³ dx
V = 2π[x² ‒ ¹/₄x⁴ ]₀^√2
V = 2π[((√2)² ‒ ¹/₄(√2)⁴) ‒ (0² ‒ ¹/₄·0⁴)]
V = 2π[(2 ‒  ¹/₄ · 4) ‒ 0]
V = 2π(2 ‒ 1) = 2π

Jadi, volume benda berotasi yang terjadi jika permukaan dibatasi oleh y = x²garis y = 2, dan sumbu y diputar terhadap sumbu y sebesar 360^Fr adalah 2π satuan volume.

Jawaban: C

Dengan demikian, dua bentuk rumus untuk volume benda yang berputar dalam metode cakram dan cangkang telah dibuat. Terima kasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca juga: [Ringkasan Materi] Jarak dalam tiga dimensi (R3)